最大子数组问题

问题描述

算法导论P38提到
来源：已知一股票在某一段时间内的变化趋势，问该时间段内何时买入，何时卖出，使得收益最大，求出最大值
转化：给定一个数组，从中选取一个连续的子数组，使得其元素和在所有的子数组中最大，返回该最大值。

解决方案

暴力搜索

n个元素中选取两个元素，计算两个元素之间的元素的和，将其与max相比，如果比max大，则替换；
代码如下：

   //最简单的暴力搜索 O(n^3)
public static int getMaxSum(int []a){
	int max=0;
	int sum=0;
	for(int i=0;i<a.length;i++){
		for(int j=i;j<a.length;j++){
			for(int k=i;k<=j;k++){
				sum+=a[k];
			}
			if(sum>max){
				max=sum;
			}
			sum=0;
		}
	}
	return max;
}

分治策略

把一个数组从中分开为两个子数组，最大子数组可能的情况是：在左边的子数组，在右边的子数组，含左边的一部分和右边的一部分；对于前两种情况只是将原问题分解为较小的原问题，而第三种情况既然包括左边和右边，一定含有中间的元素，因此很好解决，从左从右遍历即可；然后将这三种情况进行比较，选取最大的部分返回
这个问题和归并排序是一个道理

   //采用分治策略，时间复杂度为O(nlgn)
public static int getMaxSum2(int []a){
	return findMaxSub(a,0,a.length-1);
}

public static int findMaxSub(int[] a,int left,int right){
	if(left==right) return a[left];
	int mid=left+(right-left)/2;
	int leftSum=findMaxSub(a, left, mid);
	int midSum=findMaxCro(a, left,mid, right);
	int rightSum=findMaxSub(a, mid+1, right);
	if(leftSum>midSum&&left>rightSum) return leftSum;
	if(rightSum>leftSum&&rightSum>midSum) return rightSum;
	return midSum;
}

public static int findMaxCro(int[] a,int left,int mid,int right){
	int maxleft,maxright;
	int sum=0;
	maxleft=a[mid];
	for(int i=mid;i>=left;i--){
		sum+=a[i];
		if(sum>maxleft){
			maxleft=sum;
		}
	}
	maxright=0;
	sum=0;
	for(int i=mid+1;i<=right;i++){
		sum+=a[i];
		if(sum>maxright){
			maxright=sum;
		}
	}
	return maxleft+maxright;
}

DP解法

第sum[i-1]个元素是前i-1个元素的最大子数组的和，如果sum[i-1]小于0，则sum[i]=a[i],否则sum[i]=sum[i-1]+a[i];最后的结果result取sum[i]的最大值
sum[i]=max(a[i],sum[i-1]+a[i])
result=max(result,sum[i])

   //时间复杂度为O(n)
public static int getMaxSum3(int []a){
	int b=0;
	int sum=0;
	for(int i=0;i<a.length;i++){
		if(b>=0){
			b+=a[i];
		}else{
			b=a[i];
		}
		if(b>sum){
			sum=b;
		}
	}
	return sum;
}

参考：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6444021